6*. С Земли стартует космическая ракета с космонавтом на борту. На каком расстоянии от поверхности Земли сила тяжести, действующая на космонавта, будет в 4 раза меньше, чем перед стартом; в 9 раз меньше, чем перед стартом?

Сила тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от центра Земли. Пусть \(R=6400\) км — радиус Земли, а \(h\) — высота над её поверхностью. Тогда отношение силы на высоте к силе у поверхности равно \(\left(\frac{R}{R+h}\right)^2\).

1. Чтобы сила стала в 4 раза меньше, \(\left(\frac{R}{R+h}\right)^2=\frac14\). Значит, расстояние от центра Земли равно \(2R\), и \(h=R=6400\) км.
2. Чтобы сила стала в 9 раз меньше, \(\left(\frac{R}{R+h}\right)^2=\frac19\). Значит, расстояние от центра Земли равно \(3R\), и \(h=2R=12\,800\) км.

Ответ: в 4 раза меньше — на высоте 6400 км; в 9 раз меньше — на высоте 12 800 км.