6. Сколько корней имеет уравнение: а) x² = 23x + 7; б) x³ = 0,25x − 4; в) x⁴ = 23x + 7; г) x⁴ = 0,25x − 4?

а) Переносим всё в одну сторону: x² − 23x − 7 = 0. Дискриминант D = 23² + 28 = 557 > 0, поэтому два действительных корня.

б) Рассмотрим f(x) = x³ − 0,25x + 4. Производная обращается в ноль при x = ±1/√12. Значения функции в обеих критических точках положительны, а при x → −∞ функция стремится к −∞. Значит, имеется ровно один действительный корень.

в) Рассмотрим x⁴ − 23x − 7 = 0. При x ≤ 0 левая часть положительна. При x > 0 функция сначала убывает, достигает минимума, затем возрастает; её минимум отрицателен, а при x → +∞ она стремится к +∞. Следовательно, два действительных корня.

г) Уравнение x⁴ − 0,25x + 4 = 0 не имеет действительных корней: для x ≤ 0 левая часть положительна, а для x > 0 её минимум положителен.

Ответ: а) 2; б) 1; в) 2; г) 0.