6. Сколько корней имеет уравнение: а) \(x^3=23x+7\); б) \(x^3=0{,}25x-4\); в) \(x^4=23x+7\); г) \(x^4=0{,}25x-4\)?

а) Перенесём всё в левую часть: \(x^3-23x-7=0\). У кубического многочлена имеются два экстремума, причём значение в локальном максимуме положительное, а в локальном минимуме отрицательное. Поэтому график пересекает ось \(x\) трижды. Три корня.

б) Получаем \(x^3-0.25x+4=0\). Для кубического уравнения \(x^3+px+q=0\) дискриминант равен \(D=-4p^3-27q^2\). Здесь \(D=-4(-0.25)^3-27\cdot4^2<0\), значит имеется один действительный корень. Один корень.

в) Рассмотрим \(f(x)=x^4-23x-7\). При больших по модулю \(x\) функция положительна. Её единственная критическая точка удовлетворяет \(4x^3=23\) и является минимумом; значение функции в ней отрицательно. Следовательно, график пересекает ось \(x\) в двух точках. Два корня.

г) Рассмотрим \(f(x)=x^4-0.25x+4\). Минимум достигается при \(x=\sqrt[3]{0.0625}\); его значение положительно (примерно 3.94). Поэтому действительных корней нет. Ни одного корня.

Ответ: а) 3; б) 1; в) 2; г) 0.