6.Степенная функция и её производная.

6. Степенная функция и её производная

Определение: Степенная функция — это функция вида \( y = x^n \), где \( n \) — произвольное действительное число.

Производная степенной функции:

Производная степенной функции \( y = x^n \) равна \( y' = n \cdot x^{n-1} \).

Примеры:

• Если \( y = x^2 \), то \( y' = 2x^{2-1} = 2x \).
• Если \( y = x^5 \), то \( y' = 5x^{5-1} = 5x^4 \).
• Если \( y = x^{-1} = \frac{1}{x} \), то \( y' = -1 · x^{-1-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \).
• Если \( y = \sqrt{x} = x^{1/2} \), то \( y' = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \).