6. Тип 7 № 8010. На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 отмечено девять точек. Проведите биссектрису угла AFB. Сколько отмеченных точек, отличных от точек А, F и B, лежит на биссектрисе угла AFB?

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно определить координаты точек, построить угол AFB и найти его биссектрису, а затем проверить, какие из отмеченных точек лежат на этой биссектрисе.

1. Определим координаты точек:
   Исходя из расположения на клетчатой бумаге, примем за начало координат точку, которая находится слева и ниже всех точек. Обозначим её как (0,0).
   Тогда координаты точек будут:
   A = (1,2)
   F = (2,1)
   B = (3,2)
2. Проанализируем угол AFB:
   Угол AFB образован векторами FA и FB.
   Вектор FA = A - F = (1-2, 2-1) = (-1, 1).
   Вектор FB = B - F = (3-2, 2-1) = (1, 1).
3. Найдем угол AFB:
   Скалярное произведение FA ⋅ FB = (-1)(1) + (1)(1) = -1 + 1 = 0.
   Так как скалярное произведение равно 0, векторы FA и FB перпендикулярны. Это означает, что угол AFB равен 90°.
4. Построим биссектрису угла AFB:
   Биссектриса угла, образованного двумя перпендикулярными векторами, будет проходить под углом 45° к каждому из них. В данном случае, так как угол AFB равен 90°, его биссектриса будет проходить под углом 45° к векторам FA и FB.
5. Уравнение биссектрисы:
   Вектор FA имеет направление (-1, 1), что соответствует углу 135° с положительным направлением оси X. Вектор FB имеет направление (1, 1), что соответствует углу 45° с положительным направлением оси X.
   Биссектриса будет иметь направление, усредненное по этим углам, или же можно найти направление, равноудаленное от FA и FB. Так как угол 90°, биссектриса будет под углом 45° к FB (или FA).
   Вектор биссектрисы будет иметь направление, например, (1, 0) (горизонтальное направление) или (0,1) (вертикальное направление), если бы угол был расположен иначе. В данном случае, угол 45° от вектора FB=(1,1) даст нам направление, например, (cos(45°), sin(45°)) = (sqrt(2)/2, sqrt(2)/2), если бы он исходил из начала координат. Но он исходит из F=(2,1).
   Проще всего найти биссектрису, зная, что она делит угол 90° пополам. Биссектриса будет идти под углом 45° относительно оси, проходящей через F.
   Поскольку FA и FB симметричны относительно вертикальной линии, проходящей через F (x=2), биссектриса будет этой вертикальной линией. То есть, биссектриса угла AFB — это прямая x = 2.
6. Найдем точки, лежащие на биссектрисе:
   Нам нужно найти точки, отличные от A, F, B, которые лежат на прямой x=2.
   Перечислим все отмеченные точки:
   Верхний ряд: (0,2), (1,2), (2,2), (3,2)
   Средний ряд: (0,1), (1,1), (2,1), (3,1)
   Нижний ряд: (0,0), (1,0), (2,0), (3,0)
   
   Наши точки A=(1,2), F=(2,1), B=(3,2).
   Точки с x-координатой, равной 2:
   (2,2) - обозначим как G.
   (2,1) - это точка F, которая уже исключена.
   (2,0) - обозначим как H.
   
   Точки G=(2,2) и H=(2,0) лежат на прямой x=2.
   Эти точки отличны от A, F, B.
7. Итоговое количество точек:
   На биссектрисе угла AFB (прямая x=2) лежат две точки: G=(2,2) и H=(2,0).

Финальный ответ:

Ответ: 2