6. Треугольник АВС — равнобедренный (АВ=ВС). BD — медиана. Угол ABD = 40°. Чему равны углы треугольника BDC?

Давай разберемся с этим равнобедренным треугольником!

Дано:

• Треугольник ABC — равнобедренный (AB = BC).
• BD — медиана.
• Угол ABD = 40°.

Найти: Углы треугольника BDC (угол BDC, угол BCD, угол CBD).

Решение:

1. Свойства равнобедренного треугольника: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.
2. Свойства медианы в равнобедренном треугольнике: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также биссектрисой и высотой. Однако, BD проведена к стороне AC, и она является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой. Но тут BD - медиана, а не обязательно высота.
3. Рассмотрим треугольник ABD: Угол ABD = 40°.
4. Рассмотрим треугольник ABC: Так как AB = BC, то ∠BAC = ∠BCA.
5. Угол ABC: Угол ABC = ∠ABD + ∠CBD.
6. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, также является биссектрисой. В данном случае, если AC — основание, то BD — биссектриса ∠ABC. Но у нас не сказано, что AC — основание.
7. Важный момент: В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) медиана BD, проведенная из вершины B к основанию AC, является также высотой и биссектрисой. Это значит, что ∠BDA = 90° и ∠ABD = ∠CBD.
8. Если ∠ABD = 40°, то ∠CBD = 40°.
9. Тогда ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 40° + 40° = 80°.
10. Сумма углов в треугольнике ABC равна 180°: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
11. Так как ∠BAC = ∠BCA, то 2 * ∠BCA + 80° = 180°.
12. Находим углы при основании: 2 * ∠BCA = 180° - 80° = 100°. ∠BCA = 100° / 2 = 50°.
13. Итак, ∠BAC = 50°, ∠BCA = 50°, ∠ABC = 80°.
14. Теперь вернемся к треугольнику BDC:
• Угол ∠BCD (он же ∠BCA) = 50°.
• Угол ∠CBD = 40°.
• Угол ∠BDC — это угол, образованный медианой (которая является высотой) и стороной BC. Так как BD — высота, то ∠BDC = 90°.

Проверим сумму углов в треугольнике BDC: 50° + 40° + 90° = 180°. Все верно!

Ответ: В. 40°, 40° и 100°