6*. Три сестры, Аня, Катя и Лиза, одинаково умеют навести порядок в квартире. Если любые две из них будут работать вместе, то справятся с уборкой за час. Сколько времени займёт уборка, если они будут

Решение:

Пусть \( A \) — время, за которое уберется Аня одна, \( K \) — время, за которое уберется Катя одна, \( L \) — время, за которое уберется Лиза одна.

Из условия задачи известно, что сестры убираются с одинаковой скоростью. Это значит, что \( A = K = L \).

Также известно, что если любые две сестры работают вместе, то они справятся за 1 час. Возьмем, например, Аню и Катю:

1. Производительность Ани = \( \frac{1}{A} \) (часть квартиры за час).
2. Производительность Кати = \( \frac{1}{K} \) (часть квартиры за час).
3. Их совместная производительность = \( \frac{1}{A} + \frac{1}{K} = \frac{1}{1 час} = 1 \).

Так как \( A = K \), то \( \frac{1}{A} + \frac{1}{A} = 1 \), значит \( \frac{2}{A} = 1 \), откуда \( A = 2 \) часа.

Это значит, что каждая сестра в одиночку убирается за 2 часа.

Теперь найдем, сколько времени займет уборка, если будут работать все три сестры вместе. Их совместная производительность будет равна:

\( \frac{1}{A} + \frac{1}{K} + \frac{1}{L} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \) (части квартиры за час).

Время, за которое они уберутся вместе, равно \( \frac{1}{\text{совместная производительность}} \):

\( \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} \) часа.

Переведем \( \frac{2}{3} \) часа в минуты: \( \frac{2}{3} \cdot 60 = 40 \) минут.

Ответ: Уборка займёт 2/3 часа или 40 минут.