6. Углы треугольника АВС относятся так <A:<B:<C = 1:2:3. Биссектриса ВМ угла АВС равна 24. Найдите отрезок МС.

Решение:

Сначала найдем углы треугольника ABC.

Пусть
\[ \angle A = x \]
,
\[ \angle B = 2x \]
,
\[ \angle C = 3x \]
.

Сумма углов треугольника равна 180°:

\[ x + 2x + 3x = 180° \]
\[ 6x = 180° \]
\[ x = \frac{180°}{6} \]
\[ x = 30° \]

Значит:

\[ \angle A = 30° \]
\[ \angle B = 2 \times 30° = 60° \]
\[ \angle C = 3 \times 30° = 90° \]

Таким образом, треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом ∠C = 90°.

BM — биссектриса угла ∠ABC. Биссектриса делит угол пополам.

\[ \angle ABM = \angle MBC = \frac{\angle B}{2} = \frac{60°}{2} = 30° \]

Нам дано, что длина биссектрисы BM = 24.

Рассмотрим треугольник MBC. У нас есть:

• ∠C = 90°
• ∠MBC = 30°

Сумма углов в треугольнике MBC равна 180°, поэтому:

\[ \angle BMC = 180° - (\angle C + \angle MBC) \]
\[ \angle BMC = 180° - (90° + 30°) \]
\[ \angle BMC = 180° - 120° \]
\[ \angle BMC = 60° \]

Теперь рассмотрим треугольник MBC. Мы знаем, что:

• ∠C = 90°
• ∠MBC = 30°
• ∠BMC = 60°
• BM = 24

Мы хотим найти длину отрезка MC.

В прямоугольном треугольнике MBC:

• Катет MC лежит напротив угла ∠MBC = 30°.
• Катет BC лежит напротив угла ∠BMC = 60°.
• Гипотенуза BM = 24.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в 30°, равен половине гипотенузы.

\[ MC = \frac{1}{2} BM \]
\[ MC = \frac{1}{2} \times 24 \]
\[ MC = 12 \]

Ответ: 12