6) Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения \( \sqrt{4x^2 - 27} = -x \)

Решение:

Для решения уравнения \( \sqrt{4x^2 - 27} = -x \) необходимо выполнить два условия:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \( 4x^2 - 27 \ge 0 \).
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как корень извлекается из неотрицательного числа: \( -x \ge 0 \), что означает \( x \le 0 \).

Возведём обе части уравнения в квадрат:

\( (\sqrt{4x^2 - 27})^2 = (-x)^2 \)

\( 4x^2 - 27 = x^2 \)

\( 4x^2 - x^2 = 27 \)

\( 3x^2 = 27 \)

\( x^2 = 9 \)

\( x = \pm 3 \).

Теперь проверим полученные корни с учетом условий:

• Если \( x = 3 \), то \( x \le 0 \) не выполняется.
• Если \( x = -3 \), то \( x \le 0 \) выполняется.

Проверим подстановкой в исходное уравнение:

\( \sqrt{4(-3)^2 - 27} = -(-3) \)

\( \sqrt{4(9) - 27} = 3 \)

\( \sqrt{36 - 27} = 3 \)

\( \sqrt{9} = 3 \)

\( 3 = 3 \). Верно.

Корень уравнения \( x = -3 \). Этот корень принадлежит промежутку \( [-4; 36] \) (вариант 1) и \( (-\infty; -2] \) (вариант 2).

Если рассматривать варианты ответов:

• 1) \( [-4; 36] \) — содержит \( -3 \).
• 2) \( (-\infty; -2] \) — содержит \( -3 \).
• 3) \( (37; 40] \) — не содержит \( -3 \).
• 4) \( (-\infty; -7] \) — не содержит \( -3 \).

В задании предложены промежутки, и необходимо выбрать один, которому принадлежит корень. Так как \( -3 \) находится и в \( [-4; 36] \), и в \( (-\infty; -2] \), то возможны два правильных ответа. Однако, если выбрать самый узкий или наиболее точный промежуток, это может быть \( (-\infty; -2] \).

Ответ: \( (-\infty; -2] \)