6. Упростить \(\left(\dfrac{a^{1/2}+2}{a+2a^{1/2}+1}-\dfrac{a^{1/2}-2}{a-1}\right)\cdot\dfrac{a^{1/2}+1}{a^{1/2}}\) при \(a>0, a\ne1\).

Обозначим \(t=\sqrt a\). Тогда \(t>0\), \(t\ne1\), \(a+2\sqrt a+1=(t+1)^2\), а \(a-1=(t-1)(t+1)\).

Преобразуем разность дробей:

\(\dfrac{t+2}{(t+1)^2}-\dfrac{t-2}{(t-1)(t+1)}=\dfrac{(t+2)(t-1)-(t-2)(t+1)}{(t+1)^2(t-1)}\).

Числитель равен \((t^2+t-2)-(t^2-t-2)=2t\). Значит, выражение равно \(\dfrac{2t}{(t+1)^2(t-1)}\cdot\dfrac{t+1}{t}=\dfrac{2}{(t+1)(t-1)}\).

Возвращаясь к переменной \(a\), получаем \(\dfrac{2}{t^2-1}=\dfrac{2}{a-1}\).

Ответ: \(\dfrac{2}{a-1}\).