6. Упростите выражение (3 - b)(3 + b)(9 + b²) + (4 + b²)² и найдите его значение при b = 1/2.

Решение:

Сначала упростим выражение, используя формулы сокращенного умножения.

Шаг 1: Упростим первые три множителя.

• \((3 - b)(3 + b)\) — это разность квадратов: \(3² - b² = 9 - b²\).
• Теперь умножим результат на \((9 + b²)\): \((9 - b²)(9 + b²)\). Это снова разность квадратов, где a = 9, b = b².
• \((9 - b²)(9 + b²)\) = \(9² - (b²)+2 = 81 - b⁴\).

Шаг 2: Раскроем квадрат суммы для последнего множителя.

• \((4 + b²)+2\) — используем формулу квадрата суммы: a² + 2ab + b². Здесь a = 4, b = b².
• \((4 + b²)+2 = 4² + 2 \( \cdot \) 4 \( \cdot \) b² + (b²)+2 = 16 + 8b² + b⁴\).

Шаг 3: Сложим результаты двух частей.

• \((81 - b⁴)\) + \((16 + 8b² + b⁴)\)
• \(81 - b⁴ + 16 + 8b² + b⁴\)
• \((81 + 16) + 8b² + (-b⁴ + b⁴)\)
• \(97 + 8b² + 0 = 97 + 8b²\)

Шаг 4: Найдем значение выражения при b = 1/2.

• Подставим \(b = 1/2\) в упрощенное выражение \(97 + 8b²\).
• \(97 + 8 \( \cdot \) (1/2)²\)
• \(97 + 8 \( \cdot \) (1/4)\)
• \(97 + 8/4\)
• \(97 + 2\)
• \(99\)

Финальный ответ:

Ответ: 99