6. Упростите выражение: а) 2 2/3 x⁵y⁸ · (–1 1/2 x³y⁶)²; б) (a¹⁺ⁿ)³ : a³.

Решение:

1. а) Упрощение выражения:
   Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
   \( 2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3} \)
   \( -1\frac{1}{2} = -\frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{3}{2} \)
   Теперь подставим в выражение:
   \( \frac{8}{3} x^5y^8 \cdot \left(-\frac{3}{2} x^3y^6\right)^2 = \frac{8}{3} x^5y^8 \cdot \left( \left(-\frac{3}{2}\right)^2 \cdot (x^3)^2 \cdot (y^6)^2 \right) = \frac{8}{3} x^5y^8 \cdot \left( \frac{9}{4} \cdot x^6 \cdot y^{12} \right) \)
   Теперь умножим:
   \( \left( \frac{8}{3} \cdot \frac{9}{4} \right) \cdot (x^5 \cdot x^6) \cdot (y^8 \cdot y^{12}) = \left( \frac{8 \cdot 9}{3 \cdot 4} \right) \cdot x^{5+6} \cdot y^{8+12} = \left( \frac{72}{12} \right) \cdot x^{11} \cdot y^{20} = 6x^{11}y^{20} \)
2. б) Упрощение выражения:
   Используем свойства степеней:
   \( (a^{1+n})^3 : a^3 = a^{(1+n) \cdot 3} : a^3 = a^{3+3n} : a^3 = a^{(3+3n)-3} = a^{3n} \)

Ответ: а) 6x¹¹y²⁰; б) a³ⁿ.