№6. В 4000 году (високосный год) суперкомпьютеру дали задачу: первого января в компьютер записали число 1, и каждый следующий день компьютер нужно было умножить на число, записанное на сегодняшнее число месяца. То есть, второго января компьютер умножал 1 на 2 и получал 2, третьего января компьютер умножал 2 на 3 и получал 6, четвёртого января компьютер умножал 6 на 4 и получал 24, и так далее. Но каждый месяц знак менялся: в феврале компьютер делил на число февраля. Первого февраля он делил на 1, второго февраля число он поделил на 2, третьего — на 3, и так далее. После февраля наступил март, и компьютер умножал на все числа марта, в апреле компьютер делил на все числа апреля, в мае компьютер умножал на все числа мая, в июне компьютер делил на все числа июня, и так до конца года. Какое число получилось у компьютера в конце года, 31 декабря?

Январь, март, май и июль дают умножение на числа месяца; февраль, апрель, июнь и август — деление. Далее чередование продолжается: в сентябре умножение, в октябре деление, в ноябре умножение, в декабре деление. В високосном году в феврале 29 дней.

1. Обозначим произведение чисел от 1 до \(n\) через \(n!\). Тогда итог за год:

   \(\dfrac{31!}{29!}\cdot\dfrac{31!}{30!}\cdot\dfrac{31!}{31!}\cdot\dfrac{30!}{31!}\cdot\dfrac{30!}{31!}\cdot\dfrac{30!}{31!}.\)

2. Сократим факториалы: \(\dfrac{31!}{29!}=30\cdot31\), \(\dfrac{31!}{30!}=31\), а \(\dfrac{30!}{31!}=\dfrac{1}{31}\). Поэтому

   \(30\cdot31\cdot31\cdot1\cdot\dfrac{1}{31}\cdot\dfrac{1}{31}\cdot\dfrac{1}{31}=\dfrac{30}{31}.\)

Ответ: \(\dfrac{30}{31}\).