6. В четырёхугольнике ABCD ∠A + ∠B = 180°, AB ∥ CD. На сторонах BC и AD отмечены точки M и K соответственно так, что BM = KD. Докажите, что точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от точки пересечения диагоналей четырёхугольника.

Из условия AB ∥ CD следует, что ABCD — трапеция. Пусть O — точка пересечения диагоналей.

Так как ∠A + ∠B = 180°, прямые AD и BC параллельны: при секущей AB односторонние внутренние углы в сумме дают 180°. Вместе с AB ∥ CD это означает, что ABCD — параллелограмм.

В параллелограмме O — центр центральной симметрии: при симметрии относительно O точка B переходит в D, а сторона BC — в сторону DA. Поэтому образ точки M лежит на DA и находится от D на расстоянии BM.

По условию BM = KD, а на отрезке DA существует единственная точка, находящаяся от D на расстоянии KD. Следовательно, образом M является K. Значит, O — середина MK, откуда OM = OK.

Точки M и K находятся на одинаковом расстоянии от O.