№ 6. В древней башне есть часы со старинным механизмом, состоящим из двух шестерён: малой с 12 зубцами, большой с 36 зубцами. Какое наименьшее число оборотов должен сделать часовой механизм, чтобы обе шестерни вернулись в первоначальное положение?

Чтобы обе шестерни вернулись в исходное положение, каждая должна пройти целое число оборотов. За один оборот малой шестерни зацепление перемещает 12 зубцов, а большой — 12 из 36, то есть треть оборота. Удобнее найти число зубцов, которое должно пройти в зацеплении, чтобы оно делилось на 12 и на 36.

Наименьшее такое число: \(\text{НОК}(12,36)=36\) зубцов.

За 36 зубцов малая шестерня сделает \(36:12=3\) оборота, большая — \(36:36=1\) оборот.

Ответ: малой шестерне нужно сделать 3 оборота, большой — 1 оборот; механизм вернётся в первоначальное положение.