6. В группе 21 человек, среди них Юрий и Ирина. Группу случайным образом делят на две подгруппы: в первой 10 человек, во второй — 11. Найдите вероятность того, что Юрий и Ирина окажутся в одной подгруппе.

Решение:

Всего в группе 21 человек. Группу делят на две подгруппы: 10 человек и 11 человек.

Рассмотрим два случая, когда Юрий и Ирина окажутся в одной подгруппе:

Случай 1: Юрий и Ирина в первой подгруппе (10 человек).

Для того чтобы Юрий и Ирина оказались в первой подгруппе, нужно выбрать 8 других человек из оставшихся 19 (21 - 2 = 19). Количество способов сделать это:

C(19, 8) = \( \frac{19!}{8! \cdot (19-8)!} = \frac{19!}{8! \cdot 11!} \)

Случай 2: Юрий и Ирина во второй подгруппе (11 человек).

Для того чтобы Юрий и Ирина оказались во второй подгруппе, нужно выбрать 9 других человек из оставшихся 19 (21 - 2 = 19). Количество способов сделать это:

C(19, 9) = \( \frac{19!}{9! \cdot (19-9)!} = \frac{19!}{9! \cdot 10!} \)

Общее количество способов разделить 21 человека на две группы по 10 и 11 человек:

C(21, 10) = \( \frac{21!}{10! \cdot (21-10)!} = \frac{21!}{10! \cdot 11!} \)

Теперь найдём вероятность:

P(Юрий и Ирина в одной группе) = P(в первой группе) + P(во второй группе)

P(в первой группе) = \( \frac{C(19, 8)}{C(21, 10)} = \frac{\frac{19!}{8! \cdot 11!}}{\frac{21!}{10! \cdot 11!}} = \frac{19! \cdot 10! \cdot 11!}{8! \cdot 11! \cdot 21!} = \frac{19! \cdot 10!}{8! \cdot 21!} = \frac{10 \cdot 9}{21 \cdot 20} = \frac{90}{420} = \frac{3}{14} \)

P(во второй группе) = \( \frac{C(19, 9)}{C(21, 10)} = \frac{\frac{19!}{9! \cdot 10!}}{\frac{21!}{10! \cdot 11!}} = \frac{19! \cdot 10! \cdot 11!}{9! \cdot 10! \cdot 21!} = \frac{19! \cdot 11!}{9! \cdot 21!} = \frac{11 \cdot 10}{21 \cdot 20} = \frac{110}{420} = \frac{11}{42} \)

Общая вероятность = \( \frac{3}{14} + \frac{11}{42} = \frac{9}{42} + \frac{11}{42} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21} \)

Альтернативный подход:

Посадим сначала Юрия. Он может попасть в любую из двух групп.

Если Юрий попал в первую группу (10 мест), то для того, чтобы Ирина оказалась с ним, ей нужно занять одно из оставшихся 9 мест в этой группе. Всего свободных мест во второй группе 11. Общее количество оставшихся мест 20 (21 - 1 = 20).

Вероятность, что Ирина попадёт в первую группу: \( \frac{9}{20} \).

Если Юрий попал во вторую группу (11 мест), то для того, чтобы Ирина оказалась с ним, ей нужно занять одно из оставшихся 10 мест в этой группе. Всего свободных мест в первой группе 10. Общее количество оставшихся мест 20.

Вероятность, что Ирина попадёт во вторую группу: \( \frac{10}{20} = \frac{1}{2} \).

Общая вероятность того, что они окажутся в одной группе:

P = P(Юрий в 1-й) * P(Ирина в 1-й | Юрий в 1-й) + P(Юрий во 2-й) * P(Ирина во 2-й | Юрий во 2-й)

P = \( \frac{10}{21} \cdot \frac{9}{20} + \frac{11}{21} \cdot \frac{10}{20} \)

P = \( \frac{90}{420} + \frac{110}{420} = \frac{200}{420} = \frac{20}{42} = \frac{10}{21} \)

Ответ: \( \frac{10}{21} \)