№ 6. В магазине продаются упаковки карандашей по 8 штук и по 12 штук. Какое наименьшее количество карандашей можно купить, чтобы их можно было разложить и в коробки по 8 карандашей без остатка, и в коробки по 12 карандашей без остатка? При этом нужно купить хотя бы одну упаковку каждого вида. Объясните, как вы нашли ответ.

Нужно найти наименьшее общее кратное чисел 8 и 12. Разложим их на простые множители: \(8=2^3\), \(12=2^2\cdot3\). Тогда \(\operatorname{НОК}(8,12)=2^3\cdot3=24\).

24 карандаша можно купить, взяв 1 упаковку по 8 и 1 упаковку по 12, всего получится только 20; чтобы набрать 24, подойдут, например, 3 упаковки по 8, но тогда упаковки по 12 не будет. Проверим требование купить хотя бы одну упаковку каждого вида: количество должно иметь вид \(8a+12b\), где \(a,b\ge1\), и делиться и на 8, и на 12. Наименьшее такое количество — 48: это 3 упаковки по 8 и 2 упаковки по 12, то есть \(24+24=48\).

Ответ: 48 карандашей (3 упаковки по 8 и 2 упаковки по 12).