6. В параллелограмме BCDE биссектриса угла С пересекает сторону DE в точке К, причем ЕК = 7, DK = 11. Найдите периметр параллелограмма.

Задание 6. Параллелограмм

Дано:

• BCDE — параллелограмм.
• CK — биссектриса \( \angle C \).
• Точка К лежит на стороне DE.
• \( EK = 7 \)
• \( DK = 11 \)

Найти: периметр параллелограмма BCDE.

Решение:

1. Найдём длину стороны DE:

\( DE = DK + EK = 11 + 7 = 18 \)

2. Свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны равны: \( BC = DE = 18 \) и \( CD = BE \).
• Противоположные углы равны: \( \angle C = \angle E \), \( \angle B = \angle D \).
• Односторонние углы в сумме дают 180°: \( \angle C + \angle D = 180^\circ \).
• Если одна из диагоналей является биссектрисой угла, то параллелограмм является ромбом. В данном случае биссектриса угла C пересекает сторону DE.

3. Свойства биссектрисы:

CK — биссектриса \( \angle C \), значит, \( \angle DCK = \angle KCE \).

4. Углы при параллельных прямых:

Стороны BC и DE параллельны (свойство параллелограмма). Прямая CK является секущей.

Следовательно, накрест лежащие углы равны: \( \angle DCK = \angle CKE \).

5. Равенство углов и сторон:

Из равенства \( \angle KCE = \angle CKE \) следует, что треугольник CKE является равнобедренным. Углы при основании KE равны.

Значит, \( CE = EK = 7 \).

6. Вывод о виде параллелограмма:

В параллелограмме BCDE сторона \( BE = 7 \) (так как \( BE = CE \) как стороны, противолежащие равным углам \( \angle C \) и \( \angle D \))? Нет, это неверно. Давайте переосмыслим.

В параллелограмме BCDE, CK - биссектриса \( \angle C \), пересекает DE в точке K.

\( \angle DCK = \angle KCE \) (CK - биссектриса)

\( BC \parallel DE \)

\( \angle DCK = \angle CKE \) (как накрест лежащие углы при параллельных BC и DE и секущей CK).

Из \( \angle KCE = \angle CKE \) следует, что \( \triangle CKE \) — равнобедренный.

Значит, \( CE = EK = 7 \).

В параллелограмме стороны равны: \( BC = DE = 11 + 7 = 18 \).

\( CD = BE \).

Так как \( CE = 7 \) и \( BC \parallel DE \), и CK - биссектриса.

Рассмотрим \( \triangle CKD \).

\( CD \parallel BE \) и \( DE \) — секущая.

\( \angle DCK \) и \( \angle KCE \) - биссектриса \( \angle C \).

\( BC \parallel DE \).

\( \angle DCK = \angle CKE \) (накрест лежащие).

\( \angle DCK = \angle KCE \) (биссектриса).

Значит \( \angle KCE = \angle CKE \), следовательно \( \triangle CKE \) равнобедренный. \( CE = EK = 7 \).

В параллелограмме противоположные стороны равны: \( BC = DE = 18 \), \( CD = BE \).

Из того, что \( \angle KCE = \angle CKE \), следует, что \( CE = EK \)? Нет, из \( \angle KCE = \angle CKE \) следует, что \( CK \) является биссектрисой.

Давайте ещё раз. CK - биссектриса \( \angle C \). \( BC \parallel DE \). \( \angle DCK = \angle CKE \) (накрест лежащие).

Так как \( \angle DCK = \angle KCE \) (биссектриса), то \( \angle KCE = \angle CKE \).

Из этого следует, что \( \triangle CKE \) равнобедренный, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Значит, \( CE = EK = 7 \).

Теперь рассмотрим сторону CD.

Углы \( \angle BCD \) и \( \angle CDE \) — односторонние, их сумма 180°.

\( \angle C + \angle D = 180^\circ \).

Рассмотрим \( \triangle CD K \). \( \angle DCK \) и \( \angle CKD \).

\( \angle CKD = \angle CKE \).

\( \angle CDE = \angle D \).

В \( \triangle CDE \): \( \angle DCE + \angle CED + \angle EDC = 180^\circ \).

\( \angle DCE \) - это часть \( \angle C \).

\( \angle CED = \angle E \).

\( \angle EDC = \angle D \).

\( \angle DCE + \angle E + \angle D = 180^\circ \).

Вернемся к \( \angle KCE = \angle CKE \). Это означает, что \( \triangle CKE \) равнобедренный, и \( CE = EK = 7 \).

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \( BC = DE = 11 + 7 = 18 \).

И \( CD = BE \).

Рассмотрим \( \triangle CD K \). \( DK = 11 \).

Нам нужно найти \( CD \).

Так как \( BC \parallel DE \), то \( BC = DE = 18 \).

Рассмотрим \( \triangle B C K \).

\( CK \) — биссектриса \( \angle C \). \( BC \parallel DK \).

\( \angle BCK = \angle CKE \) (накрест лежащие).

\( \angle BCK = \angle DCK \) (биссектриса).

Следовательно, \( \angle DCK = \angle CKE \).

Это означает, что \( \triangle CKD \) является равнобедренным, и \( CD = DK = 11 \).

Проверка:

Если \( CD = 11 \) и \( DK = 11 \), то \( DE = 11 + 7 = 18 \). Это соответствует условию.

Если \( CD = 11 \), то \( BE = 11 \).

Если \( CE = 7 \) и \( EK = 7 \), то \( DE = 14 \). Но нам дано \( DE = 18 \).

Ошибка в логике. Давайте пересмотрим.

CK — биссектриса \( \angle C \), пересекает DE в точке K.

\( BC \parallel DE \).

\( \angle DCK = \angle KCE \) (биссектриса).

\( \angle KCE = \angle CKE \) \(накрест лежащие при BC \parallel DE\).

Следовательно, \( \angle DCK = \angle CKE \).

Из этого следует, что \( \triangle CKD \) является равнобедренным, и стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Значит, \( CD = DK = 11 \).

В параллелограмме противоположные стороны равны, значит \( BE = CD = 11 \).

Также \( BC = DE \). Мы знаем \( DE = DK + KE = 11 + 7 = 18 \).

Следовательно, \( BC = 18 \).

7. Найдём периметр параллелограмма:

Периметр параллелограмма равен удвоенной сумме длин двух смежных сторон.

\[ P = 2(BC + CD) \]

\[ P = 2(18 + 11) \]

\[ P = 2(29) \]

\[ P = 58 \]

Ответ: Периметр параллелограмма равен 58.