6. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а боковое ребро равно 5 см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида.
Сторона основания \( a = 6 \) см.
Боковое ребро \( l = 5 \) см.

Найти: Площадь полной поверхности \( S_{полн} \).

Решение:

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания \( S_{осн} \) и площади боковой поверхности \( S_{бок} \): \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \).

1. Вычислим площадь основания:
   Основание — квадрат со стороной \( a = 6 \) см.
   \( S_{осн} = a^2 = 6^2 = 36 \) см².
2. Вычислим площадь боковой поверхности:
   Боковая поверхность состоит из четырёх равных треугольников. Найдём апофему \( h_a \) — высоту боковой грани.
   В основании пирамиды находится квадрат. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \) см.
   Половина диагонали \( \frac{d}{2} = 3\sqrt{2} \) см.
   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( l \), апофемой \( h_a \) и половиной диагонали основания \( \frac{d}{2} \):
   \( l^2 = h_a^2 + (\frac{d}{2})^2 \)
   \( 5^2 = h_a^2 + (3\sqrt{2})^2 \)
   \( 25 = h_a^2 + 18 \)
   \( h_a^2 = 25 - 18 = 7 \)
   \( h_a = \sqrt{7} \) см.
   Площадь одной боковой грани \( S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{7} = 3\sqrt{7} \) см².
   Площадь боковой поверхности \( S_{бок} = 4 \cdot S_{грани} = 4 \cdot 3\sqrt{7} = 12\sqrt{7} \) см².
3. Вычислим площадь полной поверхности:
   \( S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 36 + 12\sqrt{7} \) см².

Ответ: Площадь полной поверхности пирамиды равна \( 36 + 12\sqrt{7} \) см².