7. В первой партии содержится 7 стандартных и 3 нестандартные детали, а во второй партии — 5 стандартных и 5 нестандартных деталей. Из каждой партии наугад извлекают по одной детали. Какова вероятность того, что: a) обе извлеченные детали окажутся стандартными; б) будет извлечена хотя бы одна нестандартная деталь?

Решение:

Обозначим события:

• \( A_1 \) — из первой партии извлечена стандартная деталь.
• \( B_1 \) — из первой партии извлечена нестандартная деталь.
• \( A_2 \) — из второй партии извлечена стандартная деталь.
• \( B_2 \) — из второй партии извлечена нестандартная деталь.

Вероятности извлечения деталей из первой партии:

• Всего деталей в первой партии: \( 7 + 3 = 10 \).
• \( P(A_1) = \frac{\text{количество стандартных}}{\text{общее количество}} = \frac{7}{10} \).
• \( P(B_1) = \frac{\text{количество нестандартных}}{\text{общее количество}} = \frac{3}{10} \).

Вероятности извлечения деталей из второй партии:

• Всего деталей во второй партии: \( 5 + 5 = 10 \).
• \( P(A_2) = \frac{\text{количество стандартных}}{\text{общее количество}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).
• \( P(B_2) = \frac{\text{количество нестандартных}}{\text{общее количество}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \).

a) Вероятность того, что обе извлеченные детали окажутся стандартными:

Это событие \( A_1 \) И \( A_2 \). Так как извлечения из разных партий независимы, вероятности перемножаются:

\[ P(A_1 \cap A_2) = P(A_1) \cdot P(A_2) = \frac{7}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{20} \].

б) Вероятность того, что будет извлечена хотя бы одна нестандартная деталь:

Событие «хотя бы одна нестандартная деталь» является противоположным событию «обе детали стандартные». Поэтому вероятность этого события можно найти как \( 1 - P(\text{обе стандартные}) \).

\[ P(\text{хотя бы одна нестандартная}) = 1 - P(A_1 \cap A_2) = 1 - \frac{7}{20} = \frac{13}{20} \].

Альтернативный способ для пункта б):

«Хотя бы одна нестандартная» означает:

• Стандартная из 1-й И нестандартная из 2-й: \( P(A_1 \cap B_2) = P(A_1) \cdot P(B_2) = \frac{7}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{20} \).
• Нестандартная из 1-й И стандартная из 2-й: \( P(B_1 \cap A_2) = P(B_1) \cdot P(A_2) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{20} \).
• Нестандартная из 1-й И нестандартная из 2-й: \( P(B_1 \cap B_2) = P(B_1) \cdot P(B_2) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{20} \).

Суммируем вероятности несовместных событий:

\[ P(\, \text{хотя бы одна нестандартная}) = \frac{7}{20} + \frac{3}{20} + \frac{3}{20} = \frac{13}{20} \].

Ответ: a) \( \frac{7}{20} \); б) \( \frac{13}{20} \).