№6. В прямоугольную трапецию вписана окружность, радиус которой равен 5 см. Найдите площадь трапеции, если ее большая боковая сторона равна 13 см.

Решение:

В прямоугольной трапеции боковая сторона, перпендикулярная основаниям, является высотой. Так как в трапецию вписана окружность, высота равна диаметру окружности.

Высота трапеции \( h = 2 \times r = 2 \times 5 \) см = 10 см.

Пусть основания трапеции равны \( a \) и \( b \), а боковые стороны \( c_1 \) и \( c_2 \).

В прямоугольной трапеции одно из оснований перпендикулярно боковым сторонам, которое является высотой ( \( c_1 = h = 10 \) см). Большая боковая сторона равна 13 см, значит \( c_2 = 13 \) см.

Проведем из вершины угла, где боковая сторона равна 13 см, высоту к большему основанию. Получится прямоугольник и прямоугольный треугольник.

Высота трапеции = 10 см.

Боковая сторона = 13 см.

Разность оснований равна катету прямоугольного треугольника: \( |a - b| \).

По теореме Пифагора: \( h^2 + (a - b)^2 = c_2^2 \)

\( 10^2 + (a - b)^2 = 13^2 \)

\( 100 + (a - b)^2 = 169 \)

\( (a - b)^2 = 169 - 100 = 69 \)

\( |a - b| = \sqrt{69} \) см.

Площадь трапеции \( S = \frac{a+b}{2} \times h \).

Свойство вписанной окружности: сумма противоположных сторон равна.

\( a + b = h + c_2 \)

\( a + b = 10 + 13 = 23 \) см.

Теперь найдём площадь:

\( S = \frac{a+b}{2} \times h = \frac{23}{2} \times 10 = 23 \times 5 = 115 \) кв. см.

Ответ: 115 кв. см.