6. В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите ВО и OD, если ВС= 3 см, AD=5 см, BD=24 см.

Решение:

В трапеции ABCD с основаниями BC и AD, диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Треугольники \( \triangle BOC \) и \( \triangle DOA \) подобны (по двум углам: \( \triangle BOC \thicksim \triangle DOA \)).

Это следует из того, что:

• \( \triangle BOC = \triangle DOA \) как вертикальные углы.
• \( \triangle OBC = \triangle ODA \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BD.

Из подобия треугольников следует отношение сторон:

\[ \frac{BO}{OD} = \frac{OC}{OA} = \frac{BC}{AD} \]

Нам известны \( BC = 3 \) см, \( AD = 5 \) см, и \( BD = 24 \) см. Мы знаем, что \( BD = BO + OD \).

Из отношения сторон имеем:

\[ \frac{BO}{OD} = \frac{3}{5} \]

Отсюда, \( BO = \frac{3}{5} OD \).

Подставим это в выражение для \( BD \):

\[ \frac{3}{5} OD + OD = 24 \]

\[ OD \left( \frac{3}{5} + 1 \right) = 24 \]

\[ OD \left( \frac{3+5}{5} \right) = 24 \]

\[ OD \cdot \frac{8}{5} = 24 \]

\[ OD = 24 \cdot \frac{5}{8} = 3 \cdot 5 = 15 \] см.

Теперь найдём \( BO \):

\[ BO = BD - OD = 24 - 15 = 9 \] см.

Проверим отношение: \( \frac{BO}{OD} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \). Всё верно.

Ответ: BO = 9 см, OD = 15 см.