6. В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC = 136, HC = 34 и ∠ACB = 49°. Найдите ∠AMB. Ответ дайте в градусах.

Задание 6: Треугольник ABC

Дано:

• BM - медиана
• BH - высота
• AC = 136
• HC = 34
• ∠ACB = 49°

Найти: ∠AMB (в градусах)

Решение:

1. Найдем MC. Поскольку M - середина AC (BM - медиана), то MC = AC / 2 = 136 / 2 = 68.

2. Найдем MH. Мы знаем, что HC = 34, и MC = 68. Следовательно, MH = MC - HC = 68 - 34 = 34.

3. Рассмотрим треугольник △BHC. Он прямоугольный, так как BH - высота.

4. В △BHC, ∠BHC = 90°, ∠BCH = 49°, HC = 34.

5. Рассмотрим треугольник △BHM. Он прямоугольный, так как BH - высота.

6. В △BHM, BH - общий катет. MH = 34.

7. Поскольку MH = HC = 34, это означает, что BH является медианой в равнобедренном треугольнике △BMC (так как BH - высота и медиана).

8. Следовательно, △BMC - равнобедренный с основанием BC, что неверно. Правильный вывод: BH является медианой, проведенной к основанию AC, если бы M совпадала с H. Но M не совпадает с H.

9. Вернемся к тому, что MH = HC = 34. Это означает, что H - середина MC. Но M - середина AC. Это невозможно, если только M и H не совпадают.

10. Если MH = HC, то △BMC равнобедренный с основанием BC. Это означает, что BM = BC. Однако, нам дано, что BM - медиана, а BH - высота.

11. Рассмотрим △BHC. Мы можем найти BH. Используя тангенс угла C:

\[ \tan(\angle ACB) = \frac{BH}{HC} \]

\[ \tan(49^\circ) = \frac{BH}{34} \]

\[ BH = 34 \tan(49^\circ) \]

12. Рассмотрим △BHM. Он прямоугольный. Мы знаем BH и MH = 34.

13. Найдем ∠AMB. Угол ∠AMB является внешним углом треугольника △BMC.

14. В △BMC, BM = MC = 68. Это означает, что △BMC равнобедренный. Углы при основании равны: ∠MBC = ∠MCB = 49°.

15. Сумма углов в △BMC равна 180°.

\[ \angle BMC + \angle MBC + \angle MCB = 180^\circ \]

\[ \angle BMC + 49^\circ + 49^\circ = 180^\circ \]

\[ \angle BMC + 98^\circ = 180^\circ \]

\[ \angle BMC = 180^\circ - 98^\circ = 82^\circ \]

Угол ∠AMB является смежным с углом ∠BMC. Следовательно, ∠AMB + ∠BMC = 180°.

Но ∠AMB - это угол треугольника ABM, а ∠BMC - угол треугольника BMC.

В △BMC: BM - медиана, MC = 68. Если BM = BC, то △BMC равнобедренный, и ∠MBC = ∠MCB = 49°. Тогда ∠BMC = 180° - (49° + 49°) = 180° - 98° = 82°.

Угол ∠AMB - это угол, образованный медианой BM и стороной AC. Он смежный с ∠BMC.

∠AMB = 180° - ∠BMC = 180° - 82° = 98°.

Ответ: 98