6. В треугольнике ABC известно, что ∠C = 90°, ∠A = 30°, а отрезок BM — биссектриса треугольника. Найдите катет AC, если BM = 6 см.

Так как ∠C = 90° и ∠A = 30°, то ∠B = 60°. Обозначим AC = x. В прямоугольном треугольнике с углом 30° гипотенуза AB = 2x, а второй катет BC = x√3.

Длина биссектрисы из B выражается формулой \(BM=\frac{2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos(B/2)}{AB+BC}\).

Подставим значения: \(6=\frac{2\cdot2x\cdot x\sqrt3\cdot\cos30°}{2x+x\sqrt3}=\frac{6x}{2+\sqrt3}\). Тогда \(x=2+\sqrt3\).

Ответ: \(AC=2+\sqrt3\) см.