6. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 25 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, M — середина AC, поэтому \(AM=MC=25:2=12.5\). По рисунку точки расположены в порядке A, M, H, C.

Пусть \(AH=x\), а \(BH=h\). Тогда \(MH=x-12.5\), \(HC=25-x\). Из прямоугольных треугольников BMH и BHC по теореме Пифагора:

\(BM^2=h^2+(x-12.5)^2\), \(BC^2=h^2+(25-x)^2\).

Поскольку \(BC=BM\), приравниваем квадраты и сокращаем \(h^2\): \((x-12.5)^2=(25-x)^2\). С учётом расположения H между M и C получаем \(x-12.5=25-x\), откуда \(2x=37.5\) и \(x=18.75\).

Ответ: AH = 18,75.