6. В треугольнике ABC сторона AB = 10 см, BC = 8 см, AC = 12 см. Из вершины B проведена медиана BM, а из вершины A — высота AH. а) Найдите длину отрезка BM. б) Постройте высоту AH и укажите, на какую сторону она опущена.

а) Медиана делит сторону \(AC\) пополам, поэтому \(AM=MC=6\) см. По теореме Аполлония:

\(AB^2+BC^2=2(BM^2+AM^2)\).

\(100+64=2(BM^2+36)\), откуда \(BM^2=46\), значит, \(BM=\sqrt{46}\) см \(\approx 6{,}78\) см.

б) Для построения можно взять \(A=(0;0)\), \(C=(12;0)\). Из условий о длинах сторон следует, что проекция вершины B на AC находится в точке H, где \(AH=7{,}5\) см. Перпендикуляр \(AH\) опущен на сторону AC.

Ответ: \(BM=\sqrt{46}\) см (примерно 6,78 см); высота AH опущена на сторону AC.