6. В центре обработки данных по связи с Землёй поставили 4 новые серверные стойки, принадлежащие разным странам Земли. По требованию отдела информационной безопасности для каждой стойки необходимо назначить одного основного и одного резервного администратора из трёх нанятых для работы в отделе с новыми стойками. Дополнительно действуют следующие правила: 1) каждый администратор является основным администратором как минимум для одной стойки; 2) никто не может быть резервным администратором более чем для двух стоек; 3) на одной и той же стойке администратор не может быть одновременно и основным, и резервным. Сколькими способами можно распределить трёх администраторов по четырём разным стойкам при выполнении всех условий?

Каждую стойку зададим упорядоченной парой: (основной, резервный) администраторы. Основной и резервный на одной стойке должны различаться.

1. Распределим основные обязанности. У каждого из трёх администраторов должна быть хотя бы одна стойка из четырёх. Число сюръекций четырёх стоек на трёх администраторов равно 3⁴ − 3·2⁴ + 3·1⁴ = 36.

2. Зафиксируем такое назначение основных. Для каждой стойки резервным можно назначить одного из двух остальных администраторов. Без ограничения по числу резервных назначений есть 2⁴ = 16 вариантов.

3. Исключим варианты, где один администратор назначен резервным на 3 или 4 стойки. Для каждого из трёх администраторов таких вариантов 2⁴ − 1 − 4 = 11: выбираем назначения на все стойки этому администратору, а на оставшихся стойках учитываем, что для резервного остаётся единственный отличный от основного выбор. Эквивалентно удобнее считать по числу стоек, где он может быть резервным; суммарно для фиксированного распределения основных остаётся количество вариантов, зависящее от размеров групп.

Для фиксированных чисел стоек с каждым основным администратором, то есть для разбиения размеров (2,1,1), число резервных назначений без превышения двух на человека составляет 10: всего 16 вариантов, из них запрещены 6 вариантов, где один из двух администраторов, не являющихся основным на двух стойках, получает резервные обязанности на трёх или четырёх стойках.

Число распределений основных типа (2,1,1): выбрать администратора с двумя стойками (3 способа), эти стойки (6 способов), а две остальные стойки распределить между двумя оставшимися администраторами (2 способа), всего 36; это совпадает с числом всех допустимых сюръекций, поскольку при четырёх стойках и трёх администраторах обязательно тип (2,1,1).

Следовательно, общее число назначений равно 36·10 = 360.

Ответ: 360 способов.