6 Вычислить: \( \int_0^3 x(3-x) dx \)

Решение:

Вычислим определённый интеграл \( \int_0^3 x(3-x) dx \).

1. Раскроем скобки под интегралом:
   \( x(3-x) = 3x - x^2 \)
2. Интеграл примет вид:
   \( \int_0^3 (3x - x^2) dx \)
3. Найдем первообразную для \( 3x - x^2 \):
   \( \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \)
4. Вычислим значение первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:
   \( \left[ \frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_0^3 = \left( \frac{3(3)^2}{2} - \frac{(3)^3}{3} \right) - \left( \frac{3(0)^2}{2} - \frac{(0)^3}{3} \right) \)
5. Упростим:
   \( = \left( \frac{3 \cdot 9}{2} - \frac{27}{3} \right) - (0 - 0) \)
   \( = \frac{27}{2} - 9 \)
   \( = \frac{27}{2} - \frac{18}{2} \)
   \( = \frac{9}{2} \)

Ответ: \( \frac{9}{2} \) или 4.5.