6. Вычислите: (3⁻⁶)⁻⁶ ⋅ 3⁶ / 3²⁸ ⋅ (3⁶)²

Задание 6. Вычисление выражения со степенями

Нужно вычислить значение выражения \( \frac{(3^{-6})^{-6} \cdot 3^6}{3^{28} \cdot (3^6)^2} \).

Правила, которые нам понадобятся:

• Возведение степени в степень: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)
• Умножение степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \)
• Деление степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Решение:

1. Сначала упростим числитель:
   • Возведём \( (3^{-6})^{-6} \) в степень: \( (3^{-6})^{-6} = 3^{(-6) \cdot (-6)} = 3^{36} \)
   • Теперь умножим полученное на \( 3^6 \): \( 3^{36} \cdot 3^6 = 3^{36+6} = 3^{42} \)
2. Теперь упростим знаменатель:
   • Возведём \( (3^6)^2 \) в степень: \( (3^6)^2 = 3^{6 \cdot 2} = 3^{12} \)
   • Теперь умножим \( 3^{28} \) на \( 3^{12} \): \( 3^{28} \cdot 3^{12} = 3^{28+12} = 3^{40} \)
3. Теперь разделим упрощённый числитель на упрощённый знаменатель: \( \frac{3^{42}}{3^{40}} \)
4. При делении степеней вычтем показатель знаменателя из показателя числителя: \( 3^{42-40} = 3^2 \)
5. Вычислим окончательный результат: \( 3^2 = 9 \)

Ответ: \( 9 \)