61. Докажите, что в последовательности 1, 1/2, 1/3, 1/4, … каждое число, кроме первого, является средним гармоническим двух соседних чисел.

Обозначим член последовательности с номером \(n\) через \(a_n=1/n\). Для \(n\ge2\) соседние с ним члены равны \(a_{n-1}=1/(n-1)\) и \(a_{n+1}=1/(n+1)\).

Их среднее гармоническое:

\[H=\frac{2a_{n-1}a_{n+1}}{a_{n-1}+a_{n+1}}=\frac{2\cdot\frac1{n-1}\cdot\frac1{n+1}}{\frac1{n-1}+\frac1{n+1}}=\frac{2/(n^2-1)}{2n/(n^2-1)}=\frac1n=a_n.\]

Значит, каждый член, начиная со второго, является средним гармоническим своих двух соседей.