62.2. 1) Даны точки M(3; 1), K(0; 0), P(0; 2). Будет ли треугольник MPK равносторонним? 2) В равнобедренном треугольнике PKH медиана KM, проведённая к основанию, равна 8. Найдите длину медианы, проведённой из вершины H, если HP = 20.

1) Найдём длины сторон по формуле расстояния между точками:

\(MK=\sqrt{(3-0)^2+(1-0)^2}=\sqrt{10}\), \(MP=\sqrt{(3-0)^2+(1-2)^2}=\sqrt{10}\), \(KP=2\).

Две стороны равны, но третья им не равна: \(2\ne\sqrt{10}\). Поэтому треугольник равнобедренный, но не равносторонний.

2) Так как медиана \(KM\) проведена к основанию \(PH\) равнобедренного треугольника, она также является высотой и делит основание пополам. Следовательно, \(PM=MH=\frac{HP}{2}=10\), а \(KM=8\).

Выберем координаты: \(P=(-10;0)\), \(H=(10;0)\), \(K=(0;8)\). Тогда середина стороны \(KP\), к которой проводится медиана из \(H\), имеет координаты \((-5;4)\).

Длина искомой медианы равна расстоянию от \(H\) до этой середины:

\(\sqrt{(10-(-5))^2+(0-4)^2}=\sqrt{225+16}=\sqrt{241}\).

Ответ: 1) нет; 2) \(\sqrt{241}\).