62. 37 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = 1/3 x^3, y = 0, x = 1, x = 2

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной линиями, вычисляется с помощью определенного интеграла.

Формула для площади: \( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае, \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 \), пределы интегрирования \( a = 1 \) и \( b = 2 \).

Вычисляем интеграл:

\[ S = \int_{1}^{2} \frac{1}{3}x^3 dx \]\[ S = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]\[ S = \frac{1}{3} \left( \frac{2^4}{4} - \frac{1^4}{4} \right) \]\[ S = \frac{1}{3} \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) \]\[ S = \frac{1}{3} \left( 4 - \frac{1}{4} \right) \]\[ S = \frac{1}{3} \left( \frac{16 - 1}{4} \right) \]\[ S = \frac{1}{3} \cdot \frac{15}{4} \]\[ S = \frac{5}{4} \]

Ответ: \( \frac{5}{4} \).