643. Задача Архимеда. Справедливо ли неравенство 265/153 < √3 < 1351/780?

Все числа в неравенстве положительны, поэтому для проверки можно сравнить их квадраты.

Для левой части: 265² = 70225, а 3 · 153² = 70227. Следовательно, (265/153)² < 3, значит 265/153 < √3.

Для правой части: 1351² = 1825201, а 3 · 780² = 1825200. Поэтому (1351/780)² > 3, а значит 1351/780 > √3. Это противоположно требуемому условию √3 < 1351/780? Нет: поскольку 1351² больше 3 · 780², дробь 1351/780 действительно больше √3, так что правая часть верна.

Ответ: да, неравенство справедливо.