649. Существует ли выпуклый многоугольник, сумма углов которого равна: 1) 1800°; 2) 720°; 3) 1600°?

Привет! Чтобы проверить, существует ли многоугольник с заданной суммой углов, будем использовать нашу любимую формулу:

\[ S = (n-2) \times 180^{\circ} \]

где S — сумма углов, а n — количество сторон. Из этой формулы мы можем выразить n:

\[ n-2 = \frac{S}{180^{\circ}} \]

\[ n = \frac{S}{180^{\circ}} + 2 \]

Главное условие: n должно быть целым числом и больше или равно 3 (ведь у многоугольника минимум 3 стороны).

1. 1800°:

   Подставляем S = 1800°:

   \[ n = \frac{1800^{\circ}}{180^{\circ}} + 2 = 10 + 2 = 12 \]

   Получилось целое число 12, которое больше 3. Значит, такой многоугольник существует (это двенадцатиугольник).

2. 720°:

   Теперь подставляем S = 720°:

   \[ n = \frac{720^{\circ}}{180^{\circ}} + 2 = 4 + 2 = 6 \]

   Получилось целое число 6, которое больше 3. Такой многоугольник тоже существует (это шестиугольник).

3. 1600°:

   И последний вариант: S = 1600°:

   \[ n = \frac{1600^{\circ}}{180^{\circ}} + 2 = \frac{160}{18} + 2 = \frac{80}{9} + 2 \]

   \[ n = 8.88... + 2 = 10.88... \]

   Результат получился нецелым числом. Значит, выпуклого многоугольника с суммой углов 1600° не существует.

Ответ: 1) Да; 2) Да; 3) Нет.