65.1. 1) Найдите площадь равнобедренного треугольника, если его боковая сторона равна 1 м, а угол при вершине равен 45°. 2) Площадь параллелограмма с углом 60° равна 25 √3 см². Найдите его периметр, если длина одной стороны 10 см.

Решение задачи 1:

Дано:

• Равнобедренный треугольник
• Боковая сторона a = 1 м
• Угол при вершине α = 45°

Найти: Площадь треугольника S

Решение:

1. Площадь равнобедренного треугольника можно найти по формуле: S = ½ * a * b * sin(γ), где a и b - боковые стороны, а γ - угол между ними. В нашем случае a = b = 1 м и γ = 45°.
2. Сначала найдем основание треугольника, используя теорему косинусов: c² = a² + b² - 2ab cos(γ).
3. c² = 1² + 1² - 2 * 1 * 1 * cos(45°) = 1 + 1 - 2 * ½√2 = 2 - √2.
4. c = √(2 - √2).
5. Теперь найдем площадь: S = ½ * 1 * 1 * sin(45°) = ½ * √2 / 2 = √2 / 4.

Ответ: Площадь равнобедренного треугольника равна ½√2 / 4 м².

Решение задачи 2:

Дано:

• Параллелограмм
• Угол α = 60°
• Площадь S = 25√3 см²
• Одна сторона a = 10 см

Найти: Периметр параллелограмма P

Решение:

1. Площадь параллелограмма находится по формуле: S = a * b * sin(α), где a и b - стороны параллелограмма, а α - угол между ними.
2. Подставим известные значения: 25√3 = 10 * b * sin(60°).
3. Так как sin(60°) = √3 / 2, уравнение примет вид: 25√3 = 10 * b * (√3 / 2).
4. Упростим: 25√3 = 5√3 * b.
5. Найдем сторону b: b = 25√3 / (5√3) = 5 см.
6. Периметр параллелограмма находится по формуле: P = 2 * (a + b).
7. Подставим значения сторон: P = 2 * (10 + 5) = 2 * 15 = 30 см.

Ответ: Периметр параллелограмма равен 30 см.