674. Лестница длиной 4 м прислонена к гладкой вертикальной стене и составляет с ней угол 30°. Масса лестницы 8 кг. Определите момент силы тяжести, действующей на лестницу. Рабочий массой 72 кг поднялся по лестнице на 3/4 длины. Определите силы, действующие на лестницу со стороны пола и стены. Трением о пол и стену пренебречь.

Задание 674

Дано:

• Длина лестницы: \( L = 4 \) м.
• Угол между лестницей и стеной: \( \alpha = 30^{\circ} \).
• Масса лестницы: \( m_{\text{лестницы}} = 8 \) кг.
• Масса рабочего: \( m_{\text{рабочего}} = 72 \) кг.
• Положение рабочего: \( \frac{3}{4} L \) от низа.
• Стены гладкие (трением пренебречь).

Найти:

1. Момент силы тяжести лестницы.
2. Силы, действующие со стороны пола и стены.

Решение:

1. Момент силы тяжести лестницы

Сила тяжести лестницы \( F_{\text{тяж. лестницы}} = m_{\text{лестницы}} × g \). Она действует из середины лестницы. Плечо силы тяжести относительно точки опоры (нижний конец лестницы) равно \( l_{\text{тяж. лестницы}} = \frac{L}{2} × °(90^{\circ} - \alpha) \).

\[ F_{\text{тяж. лестницы}} = 8 \times g \) Н.

Угол между лестницей и полом \( \beta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Плечо силы тяжести лестницы относительно точки опоры на полу:

\[ l_{\text{тяж. лестницы}} = \frac{L}{2} × °(90^{\circ} - 60^{\circ}) = \frac{4}{2} × °(30^{\circ}) = 2 × 0,5 = 1 \) м.

Момент силы тяжести лестницы:

\[ M_{\text{тяж. лестницы}} = F_{\text{тяж. лестницы}} × l_{\text{тяж. лестницы}} = (8 × g) × 1 = 8g \) Н·м.

2. Силы, действующие на лестницу

Силы, действующие на лестницу:

• Сила тяжести лестницы \( F_{\text{тяж. лестницы}} = 8g \), приложена в центре.
• Сила тяжести рабочего \( F_{\text{тяж. рабочего}} = m_{\text{рабочего}} × g = 72g \), приложена на расстоянии \( \frac{3}{4} L \) от пола.
• Сила реакции пола \( N_{\text{пол}} \), направлена вертикально вверх.
• Сила реакции стены \( N_{\text{стены}} \), направлена горизонтально от стены.

Условие равновесия:

а) Сумма сил по оси Y (вертикальной):

\[ N_{\text{пол}} - F_{\text{тяж. лестницы}} - F_{\text{тяж. рабочего}} = 0 \]

\[ N_{\text{пол}} = F_{\text{тяж. лестницы}} + F_{\text{тяж. рабочего}} = 8g + 72g = 80g \) Н.

б) Сумма сил по оси X (горизонтальной):

\[ N_{\text{стены}} - F_{\text{трения пола}} = 0 \]

Так как трением о пол пренебрегаем, \( F_{\text{трения пола}} = 0 \).

\[ N_{\text{стены}} = 0 \) Н. (Это странно, обычно трение есть. Предположим, что трением о пол пренебрегли, но сила реакции стены должна быть, иначе лестница скользила бы вниз. Возможно, имеется в виду, что сила реакции стены направлена горизонтально, а сила трения пола вертикально. Но без трения пола, лестница бы скользила.)

Переосмыслим: Вероятно, имелось в виду, что сила трения пола равна нулю, и тогда лестница будет скользить. Но для равновесия лестницы, опора на полу и стена должны создавать реакции. Если стена гладкая, она может создавать только горизонтальную силу реакции. Пол, если бы он не был гладким, создавал бы вертикальную силу реакции (опорную) и горизонтальную силу трения. Так как трением пренебрегли, возможно, это означает, что сила трения пола равна нулю.

Давайте предположим, что речь идет о равновесии, т.е. лестница НЕ СКОЛЬЗИТ. Тогда сила трения пола НЕ равна нулю. Сила реакции стены \( N_{\text{стены}} \) направлена горизонтально. Сила реакции пола \( N_{\text{пол}} \) направлена вертикально. Сила трения пола \( F_{\text{тр}} \) направлена горизонтально, препятствуя скольжению вниз.

С учетом силы трения пола:

Сумма сил по X:

\[ N_{\text{стены}} - F_{\text{тр}} = 0 ⇒ N_{\text{стены}} = F_{\text{тр}} \]

Сумма сил по Y:

\[ N_{\text{пол}} - F_{\text{тяж. лестницы}} - F_{\text{тяж. рабочего}} = 0 \]

\[ N_{\text{пол}} = (m_{\text{лестницы}} + m_{\text{рабочего}}) g = (8 + 72)g = 80g \) Н.

в) Сумма моментов сил относительно точки опоры (нижний конец лестницы):

Момент силы тяжести лестницы:

\[ M_{\text{тяж. лестницы}} = (8g) × (\frac{L}{2} × °(60^{\circ})) = 8g × (2 × 0,5) = 8g \) Н·м (против часовой стрелки).

Момент силы тяжести рабочего:

\[ M_{\text{тяж. рабочего}} = (72g) × (\frac{3}{4} L × °(60^{\circ})) = 72g × (3 × 0,5) = 72g × 1,5 = 108g \) Н·м (против часовой стрелки).

Момент силы реакции стены:

\[ M_{\text{стены}} = N_{\text{стены}} × L × °(α) = N_{\text{стены}} × 4 × °(30^{\circ}) = N_{\text{стены}} × 4 × 0,5 = 2 N_{\text{стены}} \) Н·м (по часовой стрелке).

Условие равновесия моментов:

\[ M_{\text{тяж. лестницы}} + M_{\text{тяж. рабочего}} - M_{\text{стены}} = 0 \]

\[ 8g + 108g = 2 N_{\text{стены}} \]

\[ 116g = 2 N_{\text{стены}} \]

\[ N_{\(\text{стены}\)} = 58g \) Н.

Теперь найдём силу трения пола:

\[ F_{\(\text{тр}\)} = N_{\(\text{стены}\)} = 58g \) Н.

Если \( g \approx 9,8 \) м/с²:

\[ N_{\(\text{пол}\)} = 80 × 9,8 = 784 \) Н.

\[ N_{\(\text{стены}\)} = 58 × 9,8 = 568,4 \) Н.

\[ F_{\(\text{тр}\)} = 568,4 \) Н.

Ответ:

1. Момент силы тяжести лестницы равен \( 8g \) Н·м.
2. Сила, действующая со стороны пола (опорная реакция), равна \( 80g \) Н. Сила, действующая со стороны стены (горизонтальная реакция), равна \( 58g \) Н. Сила трения пола равна \( 58g \) Н.

Если пренебречь трением о пол, то \( N_{\text{стены}} = 0 \) и \( F_{\text{тр}} = 0 \). В этом случае равновесие невозможно, лестница будет скользить. Но если задача предполагает, что равновесие достигается, то трение пола должно быть.

Итоговый ответ, предполагая, что трением пола пренебречь означает, что нет силы трения, но есть нормальная реакция пола:

1. Момент силы тяжести лестницы: \( 8g \) Н·м.

2. Сила реакции пола: \( N_{\text{пол}} = 80g \) Н. Сила реакции стены: \( N_{\text{стены}} = 58g \) Н.