691. б) Точки А, В и С (рис. 11.9) — вершины параллелограмма. Постройте все параллелограммы, вершины которых находятся в этих точках.

Решение:

Для построения параллелограмма необходимо, чтобы было четыре вершины. В условии даны только три точки: А, В и С. Это означает, что нам нужно найти четвертую вершину, чтобы построить параллелограмм.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим возможные варианты:

• Вариант 1: Точки А и В — соседние вершины, С — противолежащая А.
  Тогда диагональ AC должна пересекаться с диагональю, проходящей через B. Пусть четвертая вершина будет D. Тогда середина AC совпадает с серединой BD.
• Вариант 2: Точки А и С — соседние вершины, В — противолежащая А.
  Пусть четвертая вершина будет D. Тогда середина AB совпадает с серединой CD.
• Вариант 3: Точки В и С — соседние вершины, А — противолежащая В.
  Пусть четвертая вершина будет D. Тогда середина BC совпадает с серединой AD.

Графическое построение (на основе рисунка 11.9):

На сетке мы видим точки A, B, C. Предположим, что клетки имеют размер 1x1.

• Построение 1: Если AC — диагональ, то четвертая вершина D будет такой, что вектор AD = вектор BC. Находя координаты, D = A + (C - B) = (x_A + x_C - x_B, y_A + y_C - y_B).
• Построение 2: Если AB — диагональ, то четвертая вершина D будет такой, что вектор BD = вектор AC. D = B + (C - A) = (x_B + x_C - x_A, y_B + y_C - y_A).
• Построение 3: Если BC — диагональ, то четвертая вершина D будет такой, что вектор CD = вектор BA. D = C + (A - B) = (x_C + x_A - x_B, y_C + y_A - y_B).

На сетке построены следующие параллелограммы:

1. Вершины A, B, C и D₁. D₁ находится так, чтобы AB || CD₁ и AD₁ || BC.
2. Вершины A, B, C и D₂. D₂ находится так, чтобы AC || BD₂ и AB || CD₂.
3. Вершины A, B, C и D₃. D₃ находится так, чтобы BC || AD₃ и AB || CD₃.

В результате на рисунке видны три построенных параллелограмма.

Ответ: На рисунке построены три различных параллелограмма, используя три заданные точки как вершины.