№ 7(1 балл) Найдите значение выражения: \( \log_5 16 - 2\log_5 2 + \log_5 \frac{25}{4} \).

Решение:

Воспользуемся свойствами логарифмов:

1. \( n \log_b a = \log_b a^n \)


2. \( \log_b a - \log_b c = \log_b \frac{a}{c} \)


3. \( \log_b a + \log_b c = \log_b (a \cdot c) \)

Применим свойства к выражению:

\[ \log_5 16 - 2\log_5 2 + \log_5 \frac{25}{4} = \log_5 16 - \log_5 2^2 + \log_5 \frac{25}{4} \]
\[ = \log_5 16 - \log_5 4 + \log_5 \frac{25}{4} \]
\[ = \log_5 \frac{16}{4} + \log_5 \frac{25}{4} \]
\[ = \log_5 4 + \log_5 \frac{25}{4} \]
\[ = \log_5 \left( 4 \cdot \frac{25}{4} \right) \]
\[ = \log_5 25 \]

Поскольку \( 5^2 = 25 \), то \( \log_5 25 = 2 \).

Ответ: 2.