7. (1 балл) Решите уравнение: \( f'(x) = 0 \), если \( f(x) = x^4 - 4x^3 \).

Решение:

Сначала найдем производную функции \( f(x) = x^4 - 4x^3 \):

\( f'(x) = (x^4 - 4x^3)' = 4x^3 - 4 \cdot 3x^2 = 4x^3 - 12x^2 \).

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

\( 4x^3 - 12x^2 = 0 \)

Вынесем общий множитель \( 4x^2 \):

\( 4x^2(x - 3) = 0 \)

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

\( 4x^2 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x^2 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 0 \)

или

\( x - 3 = 0 \) \(\Rightarrow\) \( x = 3 \).

Ответ: 0; 3.