7.10. Решите данное уравнение относительно y и относительно x. Исходя из полученных решений и допустимых значений переменных, выясните, можно ли говорить, что данное уравнение задаёт функцию вида y = f(x) или/и вида x = φ(y): а) 2x + 3y = 24; б) (x − y)/(x + 2y) = 2; в) 7x − 5y = 35; г) (2x + y)/(x − 4y) = −2.

а) \(2x+3y=24\).

Относительно \(y\): \(3y=24-2x\), поэтому \(y=8-\frac{2}{3}x\).

Относительно \(x\): \(2x=24-3y\), поэтому \(x=12-\frac{3}{2}y\).

Каждому допустимому значению одной переменной соответствует единственное значение другой, поэтому уравнение задаёт функции обоих видов: \(y=f(x)\) и \(x=\varphi(y)\).

б) \(\frac{x-y}{x+2y}=2\), где \(x+2y\ne0\).

\(x-y=2x+4y\), откуда \(x+5y=0\).

Относительно \(y\): \(y=-\frac{x}{5}\). Из условия \(x+2y\ne0\) следует \(x\ne0\).

Относительно \(x\): \(x=-5y\). При этом \(y\ne0\).

Уравнение задаёт функции обоих видов на указанных областях определения.

в) \(7x-5y=35\).

Относительно \(y\): \(-5y=35-7x\), поэтому \(y=\frac{7}{5}x-7\).

Относительно \(x\): \(7x=35+5y\), поэтому \(x=5+\frac{5}{7}y\).

Уравнение задаёт функции обоих видов.

г) \(\frac{2x+y}{x-4y}=-2\), где \(x-4y\ne0\).

\(2x+y=-2x+8y\), откуда \(4x-7y=0\).

Относительно \(y\): \(y=\frac{4}{7}x\). Из ограничения следует \(x\ne0\).

Относительно \(x\): \(x=\frac{7}{4}y\). При этом \(y\ne0\).

Уравнение задаёт функции обоих видов на указанных областях определения.

Ответ: во всех четырёх случаях уравнение задаёт функцию вида \(y=f(x)\) и функцию вида \(x=\varphi(y)\), с учётом ограничений: в пунктах б) и г) нулевые значения переменных исключаются.