7.11. Исходя из полученных решений и допустимых значений переменных, выясните, можно ли говорить, что данное уравнение задаёт функцию вида y = f(x) или/и вида x = φ(y): а) 2x − 3y² = −12; б) x/(x − 3) · (x + 1)/(x + 4) = y/(y − 3) · (y + 1)/(y + 4).

а) \(2x-3y^2=-12\).

Относительно \(y\): \(3y^2=2x+12\), поэтому \(y^2=\frac{2x+12}{3}\) и \(y=\pm\sqrt{\frac{2x+12}{3}}\), где \(x\ge -6\).

Одному значению \(x>-6\) соответствуют два значения \(y\), поэтому уравнение не задаёт функцию вида \(y=f(x)\).

Относительно \(x\): \(2x=3y^2-12\), поэтому \(x=\frac{3}{2}y^2-6\).

Каждому значению \(y\) соответствует единственное значение \(x\), следовательно, уравнение задаёт функцию вида \(x=\varphi(y)\).

б) Область допустимых значений: \(x\ne3,-4\), \(y\ne3,-4\).

После перемножения крест-накрест:

\(x(x+1)(y-3)(y+4)=y(y+1)(x-3)(x+4)\).

Так как \((t-3)(t+4)=t^2+t-12\), получаем \(x^2+x=y^2+y\).

Следовательно, \((x-y)(x+y+1)=0\), то есть

\(y=x\) или \(y=-x-1\), при \(x\ne3,-4\).

Для одного значения \(x\), кроме точки пересечения ветвей, получаются два значения \(y\). Поэтому исходное уравнение не задаёт единую функцию \(y=f(x)\). Аналогично оно не задаёт единую функцию \(x=\varphi(y)\).

Однако его график состоит из двух ветвей: \(y=x\) и \(y=-x-1\), с исключёнными значениями, соответствующими ограничениям знаменателей.

Ответ: а) задаёт только функцию \(x=\varphi(y)\); б) не задаёт единой функции ни вида \(y=f(x)\), ни вида \(x=\varphi(y)\).