7. 100 карточек с числами 1, 2, …, 100. Петя для каждой пары карточек выписал на доску их сумму и разность. Какие числа выписаны на доске ровно 60 раз? Укажите все подходящие числа. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Для пары различных карточек с числами a и b (a < b) на доску записаны сумма a + b и разность b − a.

Подсчёт разностей. Число d, где 1 ≤ d ≤ 99, получается как разность b − a = d для каждого a от 1 до 100 − d. Таких пар 100 − d.

Подсчёт сумм. Число s получается для пар a < b и a + b = s. При 3 ≤ s ≤ 101 число таких пар равно ⌊(s − 1)/2⌋; при 102 ≤ s ≤ 199 — ⌊(199 − s)/2⌋. Сумма и разность учитываются отдельно, если одно и то же число возникло обоими способами.

Ищем значения, для которых общее количество появлений равно 60. Для s = 121… число сумм равно ⌊(199 − s)/2⌋, а число разностей, равных s, равно 0, поскольку s > 99. Приравнивая количество сумм к 60, получаем ⌊(199 − s)/2⌋ = 60, откуда s = 78 или 79; эти значения находятся в нижней области, где количество сумм составляет соответственно 38 и 39, поэтому не подходят.

Для чисел от 1 до 99 общее количество равно числу разностей плюс числу сумм. При проверке границ диапазонов получаем: для n = 40… число разностей равно 60, и суммы, равные 40, встречаются 19 раз, итого 79; для n = 60… число разностей равно 40, а сумм — 29 или 30, итого 69 или 70. Решая по формулам отдельно по нечётным и чётным n, равенство 60 не достигается.

Важно: условие неоднозначно в формулировке «для каждой пары карточек»: если включать пары карточки с самой собой, добавятся нулевые разности, но это не меняет количества ненулевых чисел. Пересчёт показывает, что ни одно число не появляется ровно 60 раз.

Ответ: таких чисел нет.