7. [3 балла] Дан треугольник ABC. На луче AB за пределами треугольника взяли точку K, а на стороне BC — точку M. Докажите, что сторона AC пересекает прямую KM, но не пересекает отрезок KM.

Утверждение в таком виде неверно: точка M может совпасть с B или C, поскольку условие говорит лишь, что M лежит на стороне BC.

Например, возьмём треугольник с координатами A(0; 1), B(0; 0), C(1; 0), точку K(0; −1) на луче AB за пределами треугольника и M = B. Тогда прямая KM совпадает с прямой AB и не пересекает сторону AC. Следовательно, доказать утверждение по приведённым условиям нельзя.

Если подразумевалось, что M — внутренняя точка стороны BC, доказательство такое. Рассмотрим треугольник KBC: точки A и K лежат на одной прямой по разные стороны от B, а точка M находится внутри BC. Прямая KM пересекает сторону KC внутри треугольника KBC. При этом, чтобы получить утверждение о пересечении именно AC, нужно дополнительное условие о положении M; из одних данных задачи оно не следует.

Ответ: утверждение требует уточнения условий; в записанном виде оно неверно.