7.3. Упростите выражения: а) $\frac{1}{\cos^2 t}-1$; б) $\frac{1-\sin^2 t}{\cos^2 t}$; в) $1-\frac{1}{\sin^2 t}$; г) $\frac{1-\cos^2 t}{1-\sin^2 t}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7.3. Упростите выражения: а) $\frac{1}{\cos^2 t}-1$; б) $\frac{1-\sin^2 t}{\cos^2 t}$; в) $1-\frac{1}{\sin^2 t}$; г)…$ Фото задания

7.3. Упростите выражения: а) $\frac{1}{\cos^2 t}-1$; б) $\frac{1-\sin^2 t}{\cos^2 t}$; в) $1-\frac{1}{\sin^2 t}$; г) $\frac{1-\cos^2 t}{1-\sin^2 t}$.

Accepted Answer

Применяем тождество $1-\sin^2 t=\cos^2 t$ и $1-\cos^2 t=\sin^2 t$. Учитываем, что исходные знаменатели должны быть ненулевыми.

а) $\frac{1}{\cos^2 t}-1=\frac{1-\cos^2 t}{\cos^2 t}=\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}=\tan^2 t$, при $\cos t\ne0$.
б) $\frac{1-\sin^2 t}{\cos^2 t}=\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}=1$, при $\cos t\ne0$.
в) $1-\frac{1}{\sin^2 t}=\frac{\sin^2 t-1}{\sin^2 t}=-\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t}=-\cot^2 t$, при $\sin t\ne0$.
г) $\frac{1-\cos^2 t}{1-\sin^2 t}=\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}=\tan^2 t$, при $\cos t\ne0$.

Ответ: а) $\tan^2 t$; б) $1$; в) $-\cot^2 t$; г) $\tan^2 t$, с указанными ограничениями на значения $t$.

7.3. Упростите выражения: а) \(\frac{1}{\cos^2 t}-1\); б) \(\frac{1-\sin^2 t}{\cos^2 t}\); в) \(1-\frac{1}{\sin^2 t}\); г) \(\frac{1-\cos^2 t}{1-\sin^2 t}\).

Ответ: