7.4. Упростите выражения: а) $\frac{(\sin t+\cos t)^2}{1+2\sin t\cos t}$; б) $\frac{1-2\sin t\cos t}{(\cos t-\sin t)^2}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 7.4. Упростите выражения: а) $\frac{(\sin t+\cos t)^2}{1+2\sin t\cos t}$; б) $\frac{1-2\sin t\cos t}{(\cos t-\sin t)^2}$.$ Фото задания

7.4. Упростите выражения: а) $\frac{(\sin t+\cos t)^2}{1+2\sin t\cos t}$; б) $\frac{1-2\sin t\cos t}{(\cos t-\sin t)^2}$.

Accepted Answer

Раскроем квадраты в числителе и знаменателе, используя $\sin^2 t+\cos^2 t=1$. Исходные выражения определены только при ненулевых знаменателях.

а) $(\sin t+\cos t)^2=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t=1+2\sin t\cos t$. Поэтому дробь равна $1$, если $1+2\sin t\cos t\ne0$.
б) $(\cos t-\sin t)^2=\cos^2 t-2\sin t\cos t+\sin^2 t=1-2\sin t\cos t$. Поэтому дробь равна $1$, если $1-2\sin t\cos t\ne0$.

Ответ: а) $1$ при ненулевом знаменателе; б) $1$ при ненулевом знаменателе.

7.4. Упростите выражения: а) \(\frac{(\sin t+\cos t)^2}{1+2\sin t\cos t}\); б) \(\frac{1-2\sin t\cos t}{(\cos t-\sin t)^2}\).

Ответ: