7.4. Можно ли расставить числа 1, 2, ..., 20 на окружности так, чтобы равенство между суммами чисел (то есть сумма чисел, стоящих в соседних местах) выполнялось для всех пар соседних чисел?

Если требуется, чтобы суммы чисел в каждой паре соседних мест были одинаковы, обозначим эту сумму через S. Для соседних чисел a, b, c должно выполняться a + b = S и b + c = S, значит, a = c.

Следовательно, числа на окружности должны повторяться через одно место. Но на окружности из 20 мест это означало бы, что каждое использованное число встречается дважды, тогда как числа 1–20 требуется расставить по одному разу. Получаем противоречие.

Ответ: нет, расставить числа таким образом нельзя.