7) B 10 14 120 A C x

Дано:

• Треугольник ABC, где
• \[ AB = 10 \]
• \[ AC = 14 \]
• \[ ∠ A = 120^\circ \]
• \[ BC = x \]

Найти:

• \[ x \]

Решение:

Для нахождения стороны x (сторона BC) воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов гласит:

• \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A \]

Подставим известные значения:

• \[ x^2 = 10^2 + 14^2 - 2 \cdot 10 \cdot 14 \cdot \cos 120^\circ \]

Значение $$\cos 120^\circ$$ равно $$-0.5$$ (или $$-\frac{1}{2}$$).

• \[ x^2 = 100 + 196 - 2 \cdot 10 \cdot 14 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \]
• \[ x^2 = 100 + 196 + 140 \]
• \[ x^2 = 436 \]

Теперь найдем x, извлекая квадратный корень:

• \[ x = \sqrt{436} \]

Можно упростить корень:

• \[ 436 = 4 \cdot 109 \]
• \[ x = \sqrt{4 \cdot 109} = 2\sqrt{109} \]

Ответ: $$2\sqrt{109}$$