Контрольные задания
Вопрос:

7. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр параллелограмма ABCD, если АВ = 6.

Фото задания: 7. Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке М, лежащей на стороне ВС. Найдите периметр…Фото задания

Ответ:

Краткое пояснение:

Метод: Используем свойства биссектрисы угла и параллельных прямых. Биссектриса делит угол пополам, а при параллельных прямых накрест лежащие углы равны. Также учтем, что сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°.

Пошаговое решение:

  1. Пусть AM — биссектриса угла A, BM — биссектриса угла B. Точка M лежит на стороне BC.
  2. Так как ABCD — параллелограмм, то AD || BC.
  3. Так как AM — биссектриса угла A, то \( ∠ DAM = ∠ MAB \).
  4. Так как AD || BC, то \( ∠ DAM = ∠ AMB \) (накрест лежащие углы).
  5. Следовательно, \( ∠ MAB = ∠ AMB \). Это означает, что треугольник ABM — равнобедренный, и \( AB = BM \).
  6. Аналогично, так как AB || DC, и BM — биссектриса угла B, то \( ∠ ABM = ∠ BMC \) (накрест лежащие углы).
  7. Так как BM — биссектриса угла B, то \( ∠ ABM = ∠ MBC \).
  8. Следовательно, \( ∠ MBC = ∠ BMC \). Это означает, что треугольник BMC — равнобедренный, и \( BC = MC \).
  9. Сумма углов A и B в параллелограмме равна 180°: \( ∠ A + ∠ B = 180° \).
  10. Биссектрисы делят эти углы пополам: \( \frac{∠ A}{2} + \frac{∠ B}{2} = 90° \).
  11. В треугольнике ABM, \( ∠ AMB = 180° - ∠ MAB - ∠ ABM \).
  12. В точке M на стороне BC: \( BC = BM + MC \).
  13. Из равенства \( AB = BM \) и \( BC = MC \), следует, что \( BC = AB \).
  14. Если \( BC = AB \), то параллелограмм является ромбом.
  15. По условию \( AB = 6 \). Следовательно, \( BC = 6 \).
  16. Периметр параллелограмма равен \( P = 2(AB + BC) \).
  17. \( P = 2(6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \).

Ответ: 24