7. Докажите, что: a) выражение $$\frac{(x-2y)^2}{x^2+4y^2} + \frac{(x+2y)^2}{x^2+4y^2}$$ тождественно равно 2; б) выражение $$\frac{(2a-3b)^2}{8ab} - \frac{(2a+3b)^2}{8ab}$$ тождественно равно -3.

Решение:

а) Докажем тождество:

Приведем дроби к общему знаменателю \( x^2+4y^2 \):

\[ \frac{(x-2y)^2}{x^2+4y^2} + \frac{(x+2y)^2}{x^2+4y^2} = \frac{x^2 - 4xy + 4y^2 + x^2 + 4xy + 4y^2}{x^2+4y^2} = \frac{2x^2 + 8y^2}{x^2+4y^2} = \frac{2(x^2+4y^2)}{x^2+4y^2} = 2 \]

Тождество доказано.

б) Докажем тождество:

Приведем дроби к общему знаменателю \( 8ab \):

\[ \frac{(2a-3b)^2}{8ab} - \frac{(2a+3b)^2}{8ab} = \frac{(4a^2 - 12ab + 9b^2) - (4a^2 + 12ab + 9b^2)}{8ab} \]

\[ = \frac{4a^2 - 12ab + 9b^2 - 4a^2 - 12ab - 9b^2}{8ab} = \frac{-24ab}{8ab} = -3 \]

Тождество доказано.

Ответ: тождества доказаны.