7. Докажите, что если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O, причём AO = OC и BO = OD.

Рассмотрим треугольники AOB и COD. У них AO = OC и BO = OD по условию, а ∠AOB = ∠COD как вертикальные углы. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников получаем ∠ABO = ∠CDO. Это накрест лежащие углы при прямых AB и CD и секущей BD, поэтому AB ∥ CD.

Аналогично, треугольники AOD и COB равны: AO = OC, OD = OB, а ∠AOD = ∠COB как вертикальные углы. Отсюда ∠ADO = ∠CBO, значит, AD ∥ BC.

Обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны. Следовательно, ABCD — параллелограмм.